Question

已知：△ABC中，∠B=90°，BE平分∠ABC，AB=6cm，AC=10cm．
（1）在BE的延長線上求作一點D，使DA=DC；
（2）四邊形ABCD是否有外接圓，并說明理由．若有求外接圓的面積；若沒有說明理由．

Answer 1

（1）作邊AC的垂直平分線與BE延長線的交點即為D，如圖；


（2）過A作AM⊥BE于M，過C作CN⊥BE于N．則三角形BCN和三角形ABM都是等腰直角三角形，且BC=8cm．
根據(jù)等腰直角三角形的性質，得CN=BN=4

2

cm，AM=BM=3

2

cm，則MN=

2

cm．
根據(jù)DH是AC的垂直平分線，則AD=CD，設ND長為xcm，根據(jù)勾股定理，列方程，得
（x+

2

）²+18=x²+32，
解得x=3

2

，
根據(jù)勾股定理，得CD=5

2

，在直角三角形CDH中，根據(jù)勾股定理，得DH=5cm，
又根據(jù)直角三角形的性質，知H到A、B、C三個頂點距離相等，且該距離是5cm．
因此四邊形ABCD是否有外接圓，且外接圓的面積是25πcm²．