Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作⊙O：使點O在AB邊上，OB為半徑的⊙O與AC相切（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若BC=，AB=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）過點O作OE⊥AC于點E，
∵AC是∠ACB的角平分線，
∴OB=OE，點E為⊙O與AC的切點，
在△ABC中，∠ABC=90°，BC=，AB=3，
∴AC=2，
∵∠A=∠A，∠ABC=∠AEO=90°，
∴△AEO∽△ABC，
設⊙O的半徑為r，
∴=，
解得：r=1，
答：⊙O的半徑為1．
分析：（1）作出∠ACB的角平分線，交AB于點O，再以O為圓心，OB為半徑作⊙O即可；
（2）利用勾股定理求出AC的長，進而利用△AEO∽△ABC，得出對應邊關(guān)系，進而得出r的值．
點評：此題主要考查了復雜作圖以及切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△AEO∽△ABC是解題關(guān)鍵．