Question

已知：矩形OABC的頂點(diǎn)O在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸 上，且OA=3cm，OC=4cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)的速度均為1cm/秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）t為何值時(shí)，以△OAN的一邊所在直線為對(duì)稱軸翻折△OAN，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形？

Answer 1

分析：（1）過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸，由△CEN∽△COA，利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，確定N點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將多邊形OAMN分為△ONA和△AMN，用t分別表示兩個(gè)三角形的面積，再求和即可；
（3）分為①直線ON為對(duì)稱軸，②直線OA為對(duì)稱軸，③直線AN為對(duì)稱軸，畫出圖形，根據(jù)菱形的特殊性，列方程求解．

解答：解：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1
過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸
∴△CEN∽△COA，∴

CN

CA

=

EN

OA

，即

1

5

=

EN

3

，∴EN=

3

5

．（1分）
由勾股定理得：CE=

4

5

，EO=4-

4

5

=

16

5

，∴N(

3

5

，

16

5

)．（2分）

（2）由（1）得

CN

CA

=

EN

OA

=

CE

CO

，∴EN=

3

5

t，CE=

4

5

t
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

5

t，4-

4

5

t)．
∵多邊形OAMN由△ONA和△AMN組成
∴S△ONA=

1

2

OA•NF=

3

2

(4-

4

5

t)=6-

6

5

t（3分）
S△AMN=

1

2

AM•AF=

t

2

(3-

3

5

t)=

3

2

t-

3

10

t2（4分）
∴多邊形OAMN的面積S=-

3

10

t2+

3

10

t+6．
（0≤t≤4）（5分）


（3）①直線ON為對(duì)稱軸時(shí)，翻折△OAN得到△OA′N，此時(shí)組成的四邊形為OANA′，
當(dāng)AN=A′N=A′O=OA，四邊形OANA’是菱形．
即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．（6分）

②直線OA為對(duì)稱軸時(shí)，翻折△OAN得到△OAN′，
此時(shí)組成的四邊形為ONAN′，連接NN′，交OA于點(diǎn)G．
當(dāng)NN′與OA互相垂直平分時(shí)，四邊形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG=AG=

1

2

AO=

3

2

，
∴NG∥CO，∴點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，
∴CN=

5

2

，∴t=

5

2

（7分）

③直線AN為對(duì)稱軸時(shí)，翻折△OAN得到△O′AN，
此時(shí)組成的四邊形為ONO′A，連接OO’，交AN于點(diǎn)H．
當(dāng)OO′與AN互相垂直平分時(shí)，四邊形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH=NH=

1

2

AN=

5-t

2

，
由面積法可求得OH=

12

5

，
在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=

9

5

．
∴

5-t

2

=

9

5

，∴t=

7

5

．（8分）
綜上所述，t的值為2，

5

2

或

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)及折疊變換．關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形及特殊圖形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理，相似三角形的性質(zhì)解題．