Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2-x+c經(jīng)過點A（0，-

1

2

），直線y=kx-

1

2

交拋物線于點P（點P不與點A重合）．
（1）①直接寫出c的值；
②求證：點P的橫坐標為2k+2；
（2）過點P作直線y=2kx+b交拋物線于點B，交y軸于點C．已知PB=2BC．
①求點P的坐標；（友情提示：如需要，可以運用以下定理：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

)
②求tan∠APB的值．

Answer 1

分析：（1）①將A（0，-

1

2

），帶入函數(shù)解析式求出c的值即可，
②設P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），分別將橫坐標a帶入一次函數(shù)與二次函數(shù)求出即可；
（2）①由P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）依題意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，用a表示出k，得出PC=3BC，即點B的橫坐標是

a

3

，
進而得出B點坐標，再帶入函數(shù)解析式得出k=

1

3

a-

1

2

，即可得出a的值，得出P點坐標即可；
②作PE⊥y軸于點E，則PE=CE=3，即可得出PC的長，再作AD⊥PC于點D，則AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，得出PD的長，在Rt△APD中，即可得出tan∠APB的值．

解答：（1）解：①∵拋物線y=

1

2

x2-x+c經(jīng)過點A（0，-

1

2

），
∴c=-

1

2

，

②證明：設P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），
則ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即點P的橫坐標是2k+2；

（2）解：①∵P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）
依題意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，
∴k=

1

2

a-1，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即點B的橫坐標是

a

3

，
∴點B(

1

3

a，

1

18

a2-

1

3

a-

1

2

)，
依題意

2ka+b= 1 2 a2-a- 1 2 2k• 1 3 a+b= 1 18 a2- 1 3 a- 1 2

∴k=

4 9 a2- 2 3 a

4 3 a

=

1

3

a-

1

2

，
∴

1

3

a-

1

2

=

1

2

a-1，
解得a=3，
即點P（3，1），
另解：由

1

2

x2-x-

1

2

=2kx+b，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得k=

1

2

，可知a=3，即點P（3，1），

②由上題可知：直線PB的解析式y(tǒng)=x-2，
∴點C（0，-2），
作PE⊥y軸于點E，則PE=CE=3，
∴∠PCE=45°，PC=3

2

，
作AD⊥PC于點D，則AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，
∴PD=PC-CD=3

2

-

3 2

4

=

9 2

4

，
在Rt△APD中，tan∠APB=

3 4 2

9 4 2

=

1

3

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及銳角三角函數(shù)關系和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD的長是解題關鍵．