Question

已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，在∠BAC所對(duì)弧AC上，任取一點(diǎn)D，連接AD，BD，CD，

（1）如圖1，∠BAC=，直接寫出∠ADB的大小（用含的式子表示）；

（2）如圖2，如果BAC=60°，求證：BD+CD=AD；

（3）如圖3，如果BAC=120°，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測(cè)并加以證明．

Answer 1

（1）∠ADB=90°－；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3），證明見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由AB=AC，得到∠ABC=∠ACB，即可表示出∠ACB=90°－，再由∠ACB=∠ADB得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)BD到E，使得DE=DC，可以得到△ABC是等邊三角形，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得到∠BAC=∠EDC=60°，從而有△DCE是等邊三角形，由△ACD≌△BCE，得到BE=AD，從而可以得到AD=BD+CD；

（3），延長(zhǎng)DB到E，使得BE=DC，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，由等腰三角形的性質(zhì)和由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠EBA=∠DCA，故有△EBA≌△DCA，得到∠E=∠1， AE=AD，在Rt△ADF中，解直角三角形可得到，從而有．

試題解析：

（1）∠ADB=90°－；

（2）延長(zhǎng)BD到E，使得DE=DC，∵BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠BAC+∠BDC=180°，∵∠BDC+∠EDC=180°，∴∠BAC=∠EDC=60°，∵DC=DE，∴△DCE是等邊三角形，∴∠DCE=60° ，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∵BE=BD+DE，∴AD=BD+CD；

（3），證明如下：

延長(zhǎng)DB到E，使得BE=DC，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵AB=AC ，∴∠1=∠2，∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DBA+∠ACD=180°，∵∠EBA+∠DBA =180°，∴∠EBA=∠DCA，∵BE=CD，AB=AC，∴△EBA≌△DCA，∴∠E=∠1，∴AE=AD，在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴，∵∠1=90°-=30°，，∴，∴，∵ BE=BD+CD，∴．

考點(diǎn)：圓的綜合題．