Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn).

（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系.

（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，移動(dòng)中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AB、AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積是否發(fā)生變化？說明理由.

Answer 1

【答案】(1) OA=OB=OC；（2）等腰三角形；（3）不變.

【解析】

（1）由于△ABC是直角三角形，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故有OA=OB=OC=BC；

（2）由于OA是等腰直角三角形的斜邊上的中線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS證得△AON≌△BOM可得：ON=OM ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．

（3）由全等三角形的面積相等和圖中圖形間的面積關(guān)系得到.

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，

∴OA=BC=OB=OC，

即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：

連接AO

∵AC=AB，OC=OB

∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，

在△AON與△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（SAS）

∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM

∴∠NOM=∠AOB=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形；

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AB、AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積不發(fā)生變化．理由如下：

M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)始終有△AON≌△BOM，

故S四邊形AMON=SAMO+SMBO=SABO=SABC．