Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+2x﹣；（2）；（3）存在最大值，此時P點坐標（，）．

【解析】

（1）將A、B兩點坐標分別代入拋物線解析式，可求得待定系數(shù)a和b，即可確定拋物線解析式；（2）因為圓的切線垂直于過切點的半徑，所以過A作AD⊥BC于點D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，根據(jù)拋物線解析式求出C點坐標，根據(jù)勾股定理求出BC的長，再求出AB的長，利用相似三角形的性質(zhì)即兩個三角形相似，對應線段成比例，可求得AD的長，即為⊙A的半徑；（3）先由B,C點坐標求出直線BC解析式，然后過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，因為P在拋物線上，P,Q點橫坐標相同，所以可設出P、Q點的坐標，并把PQ的長度表示出來，進而表示出△PQC和△PQB的面積，兩者相加就是△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最大值，容易求得P點坐標．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），

∴把A、B兩點坐標代入可得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣+2x﹣；

（2）過A作AD⊥BC于點D，

如圖1：因為圓的切線垂直于過切點的半徑，所以AD為⊙A的半徑，

由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴，即，

解得AD=，

即⊙A的半徑為；

（3）∵C（0，﹣），

∴設直線BC解析式為y=kx﹣，

把B點坐標（5,0）代入可求得k=，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，

如圖2，因為P在拋物線上，Q在直線BC上，P,Q兩點橫坐標相同，

所以設P（x，﹣+2x﹣），

則Q（x，x﹣），

∴PQ=（﹣+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣+x=﹣+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ

=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）

=PQOB=PQ

=×[﹣+]

=，

∵<0，∴當x=時，S△PBC有最大值，

把x=代入﹣+2x﹣，

求出P點縱坐標為，

∴△PBC的面積存在最大值，此時P點坐標（，）．