Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C，點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為D．

（1）求點D的坐標及直線AD的解析式；

（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點M為線段CD上一動點，過M作MN∥BD交線段AD于N點，點P是y軸上的動點，當△CMN的面積最大時，求△MPN的周長取得最小值時點P的坐標；

（3）如圖2，線段AE在第一象限內(nèi)交BD于點E，其中tan∠EAB=，將拋物線向右水平移動，點A平移后的對應(yīng)點為點G；將△ABD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形紀為△A1BD1，若射線BD1與線段AE的交點為F，連接FG．若線段FG把△ABF分成△AFG和△BFG兩個三角形，是否存在點G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，2）；直線AD解析式y=x+；（2）P（0，）；（3）G（，0），（，0），（，0）．

【解析】

（1）根據(jù)題意可得A，B，C坐標，根據(jù)對稱可求D點坐標，用待定系數(shù)法可求AD解析式;（2）作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT，設(shè)M（m，2），則T（m，m+），根據(jù)相似三角形可得MK=MT，用m表示△CMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題，可求M點坐標，作M關(guān)于y軸對稱點M1（- ，2），連接M1N交y軸于點P，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及直線與坐標軸的交點的求法求得點P的坐標；（3）如圖3，4，5，分類討論，通過數(shù)量關(guān)系列出方程，可求G點坐標．

（1）令x=0，則y=2，

∴C（0，2），

∵對稱軸為x=，且C，D關(guān)于對稱軸對稱，

∴D（，2）．

令y=0，則0=﹣x2+x+2，

∴x1=﹣，x2=2，

∴A（﹣，0），B（2，0），

設(shè)直線AD解析式y=kx+b，

，

解得：k=1，b=，

∴直線AD解析式y=x+；

（2）如圖1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT

設(shè)M（m，2），則T（m，m+）

∵A（﹣，0），D（，2），

∴AH=DH

∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA

∵MT∥DH，KN∥CD

∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA

∴KT=KN，MT=MD

∵MN∥BD，

∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB

∴△ADB∽△MND，

∴，

∴ND=MD．

∵DT=MD，

∴NT=MD．

∵KN∥CD，

∴，

∴KT=MT

∴KM=MT=（﹣m）

∴S△CMN=CM×KM=m×（﹣m）=﹣m2+m

∴當m=時，S△CMN最大值．

∴M（，2）．

如圖2 作M關(guān)于y軸對稱點M1（﹣，2），

由B（2，0），D（，2）得到直線BD的解析式為：y=﹣2x+4．

∵MN∥BD，

∴設(shè)直線MN的解析式為：y=﹣x+t．

把M（，2）代入求得：y=﹣x+．

聯(lián)立方程組，

解之得，即N（），

由M1（﹣，2），N（）得到直線M1N的解析式為：y=﹣x+．

令x=0，則y=，即：P（0，）．

（3）如圖3：

①當AG=FG，∠GFB=90°時，∵tan∠EAB=，

∴設(shè)FH=a，則AH=2a，設(shè)AG=FG=x，則GH=2a﹣x

∵FH2+GH2=FG2

∴a2+（2a﹣x）2=x2

∴x=a，

∴GH=a，

∵FH⊥AB，GF⊥FB

∴∠FBG=∠GFH

∴tan∠GFH=tan∠FBG

∴，

∴BH=a

∵AH+BH=AB=3，

∴2a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO

∴OG=×﹣=，

∴G（，0）

②如圖4

當FG=BG，∠AGF=90°時，設(shè)GF=a，則AG=2a，BG=a，

∴AB=AG+BG=3a=3，

∴a=，

∴G（，0）；

③如圖5：

當FG=BG，∠AFG=90°時，設(shè)GF=a，則BG=a，AG=a．

∴AB=AG+BG=a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO=a﹣=，

∴G（，0），

綜上所述G（，0），（，0），（，0）．