Question

如圖，射線OC的解析式y(tǒng)=

3

3

x（x≥0），在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H．設(shè)拋物線 y=x²（x＞0）與射線OC的交點為P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH相似，則符合條件的點Q的坐標(biāo)是

（0，

1

3

）或（0，

4

3

）

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)兩個函數(shù)求得點P的坐標(biāo)，然后求得線段PO的長和∠AOH的度數(shù)，然后分兩種情況求得點Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵y=

3

3

x與拋物線 y=x²交點為P，
∴

y= 3 3 x y=x2

解得：x=0或x=

3

3

∵點P在第一象限，
∴x=

3

3

∴y=

3

3

×

3

3

=

1

3

∴點P的坐標(biāo)為（

3

3

，

1

3

）．
∴PO=

( 1 3 )2+( 3 3 )2

=

2

3

設(shè)A點的坐標(biāo)為（a，b）
∵點A在射線OC上，
∴b=

3

3

a
∴

AH

OH

=

b

a

=

3

3

，
∴∠AOH=30°，
①如圖1，作PQ₁⊥y軸，
此時△PQ₁O∽△OHA
∴P點的縱坐標(biāo)與Q₁的縱坐標(biāo)相同，
∴點Q¹的坐標(biāo)為（0，

1

3

）；
②如圖2，△Q₂PO∽△OHA，
∴∠OQ₂P=∠AOH=30°，
∴OQ₂P=2PO=2×

2

3

=

4

3

，
此時Q₂的坐標(biāo)為（0，

，4

3

），
故答案為：（0，

1

3

）或（0，

4

3

）

點評：此題主要考查的是二次函數(shù)的綜合知識以及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法；由于相似三角形的對應(yīng)頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．