Question

【題目】（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點A的兩個正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請說明理由．

（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點A的兩個正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點D、E、G三點在同一條直線上時，請直接寫出AE的長　 　；

（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點A的兩個矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點M，N分別是BD，DE的中點，連接MN，當(dāng)點D、E、G三點在同一條直線上時，請直接寫出MN的長　 　

Answer 1

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8

【解析】

（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；

（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；

（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．

解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，

理由如下：如圖1：延長BE交AD于N，交DG于H，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，

∴∠GAD＝∠EAB，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，

∵∠ABE+∠ANB＝90°，

∴∠ADG+∠DNH＝90°，

∴∠DHN＝90°，

∴BE⊥DG；

（2）如圖，當(dāng)點G在線段DE上時，連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，

∴∠GAD＝∠EAB，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，

∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，

∴∠DEB＝90°，

∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，

∴GE＝5﹣5，

∴AE＝＝5﹣5，

當(dāng)點E在線段DG上時，

同理可求AE＝5﹣5，

故答案為：5﹣5；

（3）如圖，若點G在線段DE上時，

∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，

∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，

∴∠DAG＝∠BAE，

又∵，

∴△AGD∽△AEB，

∴，∠DGA＝∠AEB，

∴BE＝DG，

∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，

∴∠GAE＝∠DEB＝90°，

∵DB2＝DE2+BE2，

∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，

∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），

∴BE＝12，

∵點M，N分別是BD，DE的中點，

∴MN＝BE＝6；

如圖，當(dāng)點E在線段DG上時，

同理可求：BE＝16，

∵點M，N分別是BD，DE的中點，

∴MN＝BE＝8，

綜上所述：MN為6或8，

故答案為：6或8．