Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．
①若點P在第一象限內(nèi)．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標軸坐標求法，得出B、C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．
（2）利用二次函數(shù)最值求法不難求出，再利用三角形面積之間的關(guān)系，可求出等腰△BPC的面積
解答：解：（1）由于直線y=-x+3經(jīng)過B、C兩點，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵點B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得，
解得b=2，c=3，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；

（2）①∵點P（x，y）在拋物線y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x軸，
∴設(shè)點P的坐標為（x，-x²+2x+3），
同理可設(shè)點N的坐標為（x，-x+3），
又點P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=，
∴當時，
線段PN的長度的最大值為．
②解：
由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設(shè)點P的坐標為（a，a），
又點P在拋物線y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得，（10分）
∴點P的坐標為：或，
若點P的坐標為，此時點P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，，
OB=OC=3，
S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC=2S_△BOP-S_△BOC=，
=，
=，
若點P的坐標為，此時點P在第三象限，
則S_△BPC=S_△BOP+S_△COP+S_△BOC=，
===，
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，綜合性較強．