Question

如圖，已知對(duì)稱(chēng)軸為x=-

3

2

的拋物線(xiàn)y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=3，D是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且DC⊥OC．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接OD，直線(xiàn)y=

1

2

x+m與OD交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直線(xiàn)EF上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸得到關(guān)于a、b的一個(gè)方程，再把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，然后解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出拋物線(xiàn)y=-

1

3

x²-x+6與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），將y=6代入，求出x的值，得到D點(diǎn)坐標(biāo)及DC=3，再過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

EG

DC

=

OG

OC

=

OE

OD

=

1

3

，求出EG，OG的值，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后將E點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

2

x+m，即可求出m的值；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①OF為菱形的邊時(shí)，延長(zhǎng)M₁N₁交x軸于點(diǎn)G₁，則M₁N₁⊥x軸．設(shè)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（a，

1

2

a+

5

2

），則點(diǎn)N₁的坐標(biāo)為（a，

1

2

a），在Rt△OG₁N₁中，運(yùn)用勾股定理得出OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，列出關(guān)于a的方程，解方程即可，同理求出點(diǎn)N₂的坐標(biāo)；②OF為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，連接M₃N₃，交OF于點(diǎn)P，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知M₃N₃與OF互相垂直平分，則OP=

1

2

OF=

5

4

，將y=

5

4

代入y=

1

2

x+

5

2

，求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)N₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

3

2

，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），
∴

- b 2a =- 3 2 9a+3b+6=0

，解得

a=- 1 3 b=-1

，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-

1

3

x²-x+6；

（2）∵y=-

1

3

x²-x+6，
∴x=0時(shí)，y=6，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴當(dāng)y=6時(shí)，-

1

3

x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），DC=3．
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，則EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴

EG

DC

=

OG

OC

=

OE

OD

=

1

3

，
∴EG=

1

3

DC=1，OG=

1

3

OC=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．
將E點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

2

x+m，
得2=-

1

2

+m，
解得m=

5

2

；

（3）若M是直線(xiàn)EF上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方存在點(diǎn)N，使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
分兩種情況：
①如圖，OF為菱形的邊時(shí)，如果OF=FM₁=M₁N₁=N₁O=

5

2

，
延長(zhǎng)M₁N₁交x軸于點(diǎn)G₁，則M₁N₁⊥x軸．
∵點(diǎn)M₁在直線(xiàn)y=

1

2

x+

5

2

上，
∴設(shè)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（a，

1

2

a+

5

2

）（a＞0），則點(diǎn)N₁的坐標(biāo)為（a，

1

2

a），
在Rt△OG₁N₁中，OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，
即：a²+（

1

2

a）²=（

5

2

）²，
整理得：a²=5，
∵a＞0，
∴a=

5

，
∴點(diǎn)N₁的坐標(biāo)為（

5

，

5

2

）；
同理，求得點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（-2，

3

2

）（a＞0），則點(diǎn)N₂的坐標(biāo)為（-2，4）；
②如圖，OF為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，連接M₃N₃，交OF于點(diǎn)P，則M₃N₃與OF互相垂直平分，
∴OP=

1

2

OF=

5

4

，
∴當(dāng)y=

5

4

時(shí)，

1

2

x+

5

2

=

5

4

，
解得：x=-

5

2

，
∴點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（-

5

2

，

5

4

），
∴點(diǎn)N₃的坐標(biāo)為（

5

2

，

5

4

）．
綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有3個(gè)，分別為N₁（

5

，

5

2

），N₂（-2，4），N₃（

5

2

，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．