Question

【題目】在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB上一點，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延長線于F．連接DE交對角線AC于H．下列結論：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB.其中結論正確的是________．(填序號)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由已知條件可直接證得△ACD≌△ACE；由三角形全等的性質可得CD=CE，又因為AD=AE所以AC是DE的垂直平分線即AC垂直平分ED；延長AF，CB相交于點G，證出△ABG≌△CBE，則AG=CE=CD，再證出AG=2BF即可得出③正確；取CE的中點I連接BI，可得CE=2BI，再證明BF=BI，再利用三角形的外角性質和平行線的性質問題④可得證．

解：①∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°．

∵AB=CB，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAC=45°．

又∵AC=AC，AE=AD，

∴△AEC≌△ADC．

故①正確．

②∵△AEC≌△ADC，

∴DC=CE．

又∵AD=AE，

∴AC是DE的垂直平分線．

即AC垂直平分ED．

故②正確．

③延長AF，CB相交于點G，則∠ABG=∠ABC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

又∵AF⊥CE，

∴∠AEF+∠BAG=90°，

∵∠BEC=∠AEF，

∴∠BCE=∠BAG，

又∵AB=BC，

∴△ABG≌△CBE，

∴AG=CE=CD，

又∵AD//BC，

∴∠G=∠DCG，

∵BF//CD，

∴∠DCG=∠FBG，

∴∠G=∠FBG，

∴BF=FG．

又∵∠ABG=90°，

∴AG=2BF．

即CE=2BF.

故③正確；

④取CE的中點I，連接BI，則BI=CI=EI.

∴∠CBI=∠BCI，

∴∠BIF=2∠BCI．

∵CE=2BF，

∴BF=BI，

∴∠BFI=∠BIF=2∠BCI．

∵BF//CD，

∴∠BFI=∠DCE,

∴∠BCI=∠DCE=∠ACE，

∴CE平分∠ACB．

故④正確．

故答案為：①②③④．