Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長是       ．

Answer 1

【考點(diǎn)】解直角三角形．

【分析】分兩種情況：①△ABC為銳角三角形；②△ABC為鈍角三角形．這兩種情況，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD與直角△ABD，得到BC的長，再利用余弦定理求解．

【解答】解：分兩種情況：

①△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1．

作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．

∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=  a．

∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，

∴BD=AD= a，

∴BC=BD+CD= a．

在△BCE中，由余弦定理，得

BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC

∴BE= ；

②△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2．

作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．

∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=  a．

∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，

∴BD=AD= a，

∴BC=BD+CD= a．

在△BCE中，由余弦定理，得

BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC

∴BE=．

綜上可知AC邊上的中線長是或．

故答案為或．

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定難度，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．