如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥軸于點(diǎn)C,A
,B
.動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿
軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng).過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA,垂足為Q.設(shè)
點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒,△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
1.求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式;
2.求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
3.將△OPQ繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)為O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
1. 法一:由圖象可知:拋物線經(jīng)過原點(diǎn),
設(shè)拋物線解析式為.
把A(1,-1),B(3,-1)代入上式得:
解得:
∴所求拋物線解析式為
法二:∵A(1,-1),B(3,-1),
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線.
設(shè)拋物線解析式為(
)
把O,A(1,-1)代入得
解得
∴所求拋物線解析式為
2.分四種情況:
①當(dāng),重疊部分的面積是
,過點(diǎn)
作
軸于點(diǎn)
,
∵A(1,-1),在中,
,
,
在中,
,
,
∴, ∴
.
②當(dāng),設(shè)
交
于點(diǎn)
,作
軸于點(diǎn)
,
,則四邊形
是等腰梯形,
重疊部分的面積是.
∴,
∴.
③當(dāng),設(shè)
與
交于點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
,
重疊部分的面積是.
因?yàn)?img width=45 height=16 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew/czsx/10/42990.png">和都是等腰直角三角形,
所以重疊部分的面積是.
∵B(3,-1),,
∴,
∴,
∴
4當(dāng)時(shí),重疊部分的面積就是梯形OABC的面積=
3.存在 ,
解析:本題是二次函數(shù)的一道綜合題,(1)(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式,是常見題型,(3)需要綜合考慮,有一定難度。
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