已知:拋物線y=x2-(m2+5)x+2m2+6.
(1)求證:不論m取何值,拋物線與x軸必有兩個交點,并且有一個交點是A(2,0);
(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B,AB的長為d,求d與m之間的函數(shù)關系式;
(3)設d=10,P(a,b)為拋物線上一點.
①當△ABP是直角三角形時,求b的值;
②當△ABP是銳角三角形、鈍角三角形時,分別寫出b的取值范圍(第②題不要求寫出解答過程).
【答案】
分析:(1)令拋物線中y=0,即可用十字相乘法求得兩根的值,由此可得證.
(2)在(1)中已經(jīng)求得了兩點的坐標,即可表示出AB的距離.
(3)①根據(jù)d的長以及(2)中得出的d的表達式可確定出拋物線的解析式,也就能得出A、B的坐標.可以AB為直徑作圓,圓與拋物線有交點,說明拋物線上存在符合條件的P點,可根據(jù)拋物線的解析式設出P點坐標(設橫坐標,根據(jù)拋物線的解析式表示出縱坐標),在直角三角形ABP中,∠APB=90°,如果過P作PQ⊥x軸于Q,那么根據(jù)射影定理可得出PQ
2=AQ•QB,由此可求出P點坐標,確定出b的值;
②根據(jù)圖形與①求出的b值,即可分別確定出當△ABP是銳角三角形、鈍角三角形時b的取值范圍.
解答:解:(1)令y=0,得x
2-(m
2+5)x+2m
2+6=0,
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即(x-2)(x-m
2-3)=0,
解得:x
1=2,x
2=m
2+3,
∴一定有交點A(2,0),B(m
2+3,0)
∴結論得證;
(2)∵A(2,0),B(m
2+3,0)
∴d=AB=m
2+1;
(3)①d=AB=m
2+1=10,
∴y=x
2-14x+24,
∴A(2,0),B(12,0)
以AB為直徑畫圓,由圖可知與拋物線有兩個交點,
∴存在這樣的點P,
設點P坐標為(x,x
2-14x+24),作P
1Q⊥橫軸于Q,則點Q(x,0),
易得△AQP∽△PQB,
∴
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=
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,
∴PQ
2=AQ•BQ=(x-2)(12-x)=(x
2-14x+24)
2,
即(x-2)(12-x)=(x-2)
2(x-12)
2,(x-2)(x-12)≠0,
∴解得x=7±2
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,
∴點P為(7+2
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,-1),或(7-2
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,-1),
則b=-1;
②當△ABP是銳角三角形時,b<-1;當△ABP為鈍角三角形時,b>-1.
點評:本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系、直角三角形的判定等知識.綜合性較強,難度適中.