在⊙O中，半徑OB垂直于直徑MN，過點B的弦BC交MN于點A，分別連接MB，NB，求證：MB•NB=BA•BC．

【答案】分析：先證明△ABN∽△NBC，得=，即NB•NB=BA•BC，又因為OB⊥MN，得MB=BN，所以MB•NB=BA•BC．
解答：解：連接CN，如圖所示：
由題意得，MB=NB，
∴∠MNB=∠BCN．
∵∠ABN=∠NBC，
∴△ABN∽△NBC．
∴=．
即NB•NB=BA•BC，
∵MB=NB，
∴MB•NB=BA•BC．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△內(nèi)接于⊙，點在的延長線上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求證:是⊙的切線；⑵若,求的長。

【解析】（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；

（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數(shù)值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．

 

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【答案】14。

【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理．

【專題】探究型．

【分析】先由MN＝20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

【解答】∵MN＝20，

∴⊙O的半徑＝10，

連接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，

∴OD＝＝＝8；

同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，

∴OC＝＝＝6，

∴CD＝8＋6＝14，

作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，

在Rt△AB′E中，

∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，

∴AB′＝＝＝14．

故答案為：14．

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省廈門市翔安區(qū)九年級適應性考試數(shù)學卷（解析版） 題型：填空題

如圖，△內(nèi)接于⊙，點在的延長線上，sinB＝,∠CAD＝30°⑴求證:是⊙的切線；⑵若,求的長。

【解析】（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；

（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數(shù)值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．

 

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