Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，2），B（2，-1）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)M．
（1）求b和c（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）在拋物線y=ax²-bx+c-1上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題所求出的點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)也在拋物線y=ax²+bx+c上，試判斷直線AC和x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，2），B（2，-1）兩點(diǎn)分別代入拋物線y=ax²+bx+c，即可用a表示出b、c的值．
（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入拋物線y=ax²-bx+c-1，即可求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）把（2）中所求的兩點(diǎn)分別代入（1）中拋物線的解析式，即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式，根據(jù)其解析式可求出函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)其縱坐標(biāo)于A點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系即可判斷出直線AC與x軸的關(guān)系．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，2），B（2，-1）兩點(diǎn)，
∴

a-b+c=2 4a+2b+c=-1

，
解得

b=-a-1 c=1-2a

．
（2）由（1）得，拋物線y=ax²-bx+c-1的解析式是y=ax²+（a+1）x-2a=x，
即ax²+ax-2a=0，
∵a是拋物線解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，
∴a≠0，
∴方程的解是x₁=1，x₂=-2，
∴拋物線y=ax²-bx+c-1滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是P₁（1，1），P₂（-2，-2）．
（3）由（1）得拋物線y=ax²+bx+c的解析式是y=ax²-（a+1）x+1-2a，
①當(dāng)P₁（1，1）在拋物線C₁上時(shí)，有a-（a+1）+1-2a=1，
解得a=-

1

2

，這時(shí)拋物線y=ax²+bx+c的解析式是y=-

1

2

x²-

1

2

x+2，它與y軸的交點(diǎn)是C（0，2）
∵點(diǎn)A（-1，2），C（0，2）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
∴直線AC平行于x軸．
②當(dāng)P₂（-2，-2）在拋物線C₁上時(shí)，由4a+2（a+1）+1-2a=-2，
解得a=-

5

4

，這時(shí)拋物線的解析式為y=-

5

4

x²+

1

4

x+

7

2

，它與y軸的交點(diǎn)是C（0，

7

2

）顯然A、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不相等，
∴直線AC與x軸相交，
綜上所述，當(dāng)P₁（1，1）在拋物線C₁上時(shí)，直線AC平行x軸；當(dāng)P₂（-2，-2）在拋物線y=ax²+bx+c上時(shí)，直線AC與x軸相交．

點(diǎn)評：此題考查了用代入法求函數(shù)解析式，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．第（3）小題要將（2）中所求點(diǎn)代入解析式進(jìn)行分類討論．