Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．然后將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在y軸的E點上，則C和D點依次落在第二象限的F點上和x軸的G點上（如圖）．
（1）求經(jīng)過B，E，G三點的二次函數(shù)解析式；
（2）設直線EF與（1）的二次函數(shù)圖象相交于另一點H，試求四邊形EGBH的周長．
（3）設P為（1）的二次函數(shù)圖象上的一點，BP∥EG，求P點的坐標．

Answer 1

（1）由題意可知，AE=AB=4，AG=AD=BC=2．
∴B（4，0），E（0，4），G（-2，0）．
設經(jīng)過B，E，G三點的二次函數(shù)解析式是y=a（x+2）（x-4）．
把E（0，4）代入之，求得a=-

1

2

．
∴所求的二次函數(shù)解析式是：y=-

1

2

（x+2）（x-4）=-

1

2

x²+x+4．

（2）由題意可知，四邊形AEFG為矩形．
∴FH∥GB，且GB=6．
∵直線y=4與二次函數(shù)圖象的交點H的坐標為H（2，4），
∴EH=2．
∵G與B，E與H關于拋物線的對稱軸對稱，
∴BH=EG=

42+22

=2

5

．
∴四邊形EGBH的周長
=2+6+2×2

5

=8+4

5

．

（3）易知直線EG的解析式為y=2x+4，
可是直線PB的解析式為y=2x+h，
則有8+h=0，h=-8；
∴直線BP的解析式為y=2x-8；
聯(lián)合一次，二次函數(shù)解析式組成方程組

y=2x-8 y=- 1 2 x2+x+4

，
解得

x=-6 y=-20

或

x=4 y=0

（此組數(shù)為B點坐標）
∴所求的P點坐標為P（-6，-20）．