Question

試證：世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識．

Answer 1

分析：我們把“人”看作“點”，把2個人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如2個人彼此認識就把連接2個人的對應(yīng)點的線段染成紅色；2個人彼此不認識，就把相應(yīng)的線段染成藍色，這樣，有3個人彼此認識就是存在一個3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個3邊都是藍色的三角形，這樣本題就化作：
已知有6個點，任何3點不共線，每2點之間用線段連接起來，并染上紅色或藍色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形．
利用：“數(shù)缺形時少直觀，形缺少時難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在：
（1）幾何問題代數(shù)化；（2）利用圖形圖表解代數(shù)問題；（3）構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解．

解答：解：考慮其中一個點，設(shè)為A，從A點連出的5條線段染了兩種顏色，則必有三條線段同色，設(shè)AB．AC、AD同為紅色，若BC，CD，BD三線段中有一條紅色，則必出現(xiàn)三邊都是紅色的三角形，若BC、CD、BD三條線段中沒有一條紅色，則這條三線段均為藍色，這時△BCD就是一個三邊都是藍色的三角形，因而必出現(xiàn)三邊都是同色的三角形．
∴世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識．

點評：此題主要考查了染色問題，利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程（組），再進行計算或證明．特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達定理，討論幾何圖形位置的可能性．有些問題可通過改變形式或換個說法，構(gòu)造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握．對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”．