Question

關于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：先要討論k的取值確定方程，（1）k=0，方程為一元一次方程，顯然有有理根；（2）k≠0，方程為一元二次方程，要有理根，則△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必為完全平方數(shù)，可設k²-6k+1=m²（m非負整數(shù)），變形為：（k-3+m）（k-3-m）=8，然后利用m，k都為整數(shù)，運用整數(shù)的性質，轉化為兩個二元一次方程組求解即可．
解答：解：（1）當k=0時，x=-1，方程有有理根．

（2）當k≠0時，因為方程有有理根，
所以若k為整數(shù)，則△=（k-1）²-4k=k²-6k+1必為完全平方數(shù)，
即存在非負整數(shù)m，使k²-6k+1=m²．
配方得：（k-3+m）（k-3-m）=8，
由k-3+m和k-3-m是奇偶相同的整數(shù)，其積為8，
所以它們均是偶數(shù)．又k-3+m≥k-3-m．
從而或
解得k=6或k=0（舍去），綜合（1）（2），
所以方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，整數(shù)k的值為0或6．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△為完全平方數(shù)時，方程有兩個有理數(shù)根；同時整數(shù)的奇偶性和整除的性質以及二元一次方程組的解法．