如圖,已知一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)(k>0)的圖象相交于A(1,)、B(-3,)兩點(diǎn),且與x軸相交于點(diǎn)C.連接OA、OB.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)若點(diǎn)Q為反比例函數(shù)(k>0)圖象上的動(dòng)點(diǎn),在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以P、Q、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)把A,B的坐標(biāo)代入解析式,利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)求得一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn),根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解;
(3)根據(jù)三角函數(shù)即可確定∠ACO=30°,判斷△OAC是底角為30°的等腰三角形,作QH⊥x軸,H為垂足,Rt△QOH中利用三角函數(shù)即可求得Q的坐標(biāo).
取OP1=2OH=,則∠QP1O=30°.過點(diǎn)Q作∠P2QO=30°,交x軸于點(diǎn)P2,則△OP2Q∽△COA.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,故可將△AOC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,得到△Q′O P3,由此可得點(diǎn) Q′必在雙曲線左支上,點(diǎn)P3在x軸正半軸上.即可求解.
解答:解:(1)∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A、B兩點(diǎn),
,∴,.(3分)
∴所求一次函數(shù)的解析式是,
所求反比例函數(shù)的解析式是.(4分)

(2)解法(一):由一次函數(shù),令y=0,得x=-2.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-2,0).(5分)
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=(6分)=.(8分)
解法(二):分別過點(diǎn)A、B作AE⊥x軸于E,BF⊥y軸于F,且分別延長相交于G,
∴S△AOB=S△ABG-S△BOF-S△AOE-S矩形OFGE==(6分)=.(8分)

(3)設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)D,


在Rt△COD中,
∵tan∠DCO=
∴∠DCO=30°,即∠ACO=30°.
在Rt△AOE中,
∵tan∠AOE=,
∴∠AOE=60°.∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°.
∴△OAC是底角為30°的等腰三角形.(9分)
作∠QOX=30°與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于點(diǎn)Q,設(shè)Q(),
作QH⊥x軸,H為垂足,
在Rt△QOH中,tan30°=,∴m2=3,∴(取正數(shù))
(10分)
取OP1=2OH=,則∠QP1O=30°.
∴△P1QO∽△AOC.∴.(11分)
過點(diǎn)Q作∠P2QO=30°,交x軸于點(diǎn)P2,∴△OP2Q∽△COA.
由∠QP2H=60°,得
∴P2Q=.∴.(12分)
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,故可將△AOC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,得到△Q′O P3,由此可得點(diǎn) Q′必在雙曲線左支上,點(diǎn)P3在x軸正半軸上.
,P3(2,0).(14分)
綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,,P3(2,0).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì),注意通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo).同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=
ax
的圖象交于A(2,4)和精英家教網(wǎng)B(-4,m)兩點(diǎn).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出,當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=-
8x
的圖象交于A,B點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是-2.求:
(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求一次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
(4)求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•新疆)如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=
mx
的圖象交于A(2,4)、B(-4,n)兩點(diǎn).
(1)分別求出y1和y2的解析式;
(2)寫出y1=y2時(shí),x的值;
(3)寫出y1>y2時(shí),x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知一次函數(shù)y=k1x+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn),將點(diǎn)A向上平移1個(gè)單位后剛好在反比例函數(shù)y=
k2x
上.
(1)求出一次函數(shù)解析式.
(2)求出反比例函數(shù)解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y=
4-2m
x
的圖象交于點(diǎn)A、B,交x軸于點(diǎn)C.
(1)求m的取值范圍;
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,-4),且
BC
AB
=
1
3
,求m的值和一次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時(shí)x 的取值范圍?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鐑芥嚄閼哥數浠氬┑掳鍊楁慨瀵告崲濮椻偓閻涱喛绠涘☉娆愭闂佽法鍣﹂幏锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾捐鈹戦悩鍙夋悙缂佺媭鍨堕弻銊╂偆閸屾稑顏�