解:(1)由題意,A(6,0)、B(0,8),則OA=6,OB=8,AB=10;
當t=3時,AN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t=5=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB,即N是線段AB的中點;
∴N(3,4).
設(shè)拋物線的解析式為:y=ax(x-6),則:
4=3a(3-6),a=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2766.png)
;
∴拋物線的解析式:y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2766.png)
x(x-6)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2766.png)
x
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/137.png)
x.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a03df075c.png)
(2)過點N作NC⊥OA于C;
由題意,AN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t,AM=OA-OM=6-t,NC=NA•sin∠BAO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/602.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
t;
則:S
△MNA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AM•NC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×(6-t)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
t=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
(t-3)
2+6.
∴△MNA的面積有最大值,且最大值為6.
(3)∵Rt△NCA中,AN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t,NC=AN•sin∠BAO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
t,AC=AN•cos∠BAO=t;
∴OC=OA-AC=6-t,∴N(6-t,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
t).
∴NM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559509.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559510.png)
;
又:AM=6-t,AN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t(0<t≤6);
①當MN=AN時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559510.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t,即:t
2-8t+12=0,t
1=2,t
2=6(舍去);
②當MN=MA時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559510.png)
=6-t,即:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/71822.png)
t
2-12t=0,t
1=0(舍去),t
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/255265.png)
;
③當AM=AN時,6-t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1231.png)
t,即t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2321.png)
;
綜上,當t的值取 2或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2321.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/255265.png)
時,△MAN是等腰三角形.
分析:(1)根據(jù)A、B的坐標,可得到OA=6、OB=8、AB=10;當t=3時,AN=6,即N是AB的中點,由此得到點N的坐標.然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)△MNA中,過N作MA邊上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表達式,而AM=OA-OM,由三角形的面積公式可得到關(guān)于S△MNA、t的函數(shù)關(guān)系式,利用所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△MNA的最大面積.
(3)首先求出N點的坐標,然后表示出AM、MN、AN三邊的長;由于△MNA的腰和底不確定,若該三角形是等腰三角形,可分三種情況討論:①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.
點評:該動點函數(shù)綜合題涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識.應(yīng)注意的是,當?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時,要分情況進行討論,以免漏解.