如圖,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交
軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),交
軸于點(diǎn)C,以OC、OB為兩邊作矩形OBDC,CD交拋物線于G.(1)求OC和OB的長(zhǎng);
(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在邊OB(不包括O、B兩點(diǎn))上作平行移動(dòng),交
軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)OE =m,PM =h,求h與m的函數(shù)關(guān)系式,并求出PM的最大值;
(3)連接PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△BEM相似?若存在,直接求出此時(shí)m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵拋物線,
∴當(dāng)=0時(shí),
=4;∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4). ∴OC=4
∴當(dāng)
=0時(shí),
,解得
.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0) ∴OB=3.
(2)∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸⊥
軸,在邊PE∥
,
∴PE⊥軸.
∵OE =m,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.
∴PE=.
在Rt△BOC中,tan∠OBC=.
在Rt△BME中,
ME=BE tan∠OBC=(OB-OE)·tan∠OBC=(3-m)=4-
m.
∴PM = PE-ME =-4+
m=
.
∴ h與m的函數(shù)關(guān)系式為h=(0<m<3)
又h=,
∵-<0,∴當(dāng)m=
時(shí),h有最大值為3,∴PM的最大值為3.
(3)①當(dāng)m=時(shí),△PFC∽△BEM,此時(shí)△PCM為直角三角形
(∠PCM為直角);
②當(dāng)m=1時(shí),△CFP∽△BEM,此時(shí)△PCM為等腰三角形(PC=CM).
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