Question

許多橋梁都采用拋物線型設(shè)計，小明將他家鄉(xiāng)的彩虹橋按比例縮小后，繪成如下的示意圖，圖中的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經(jīng)過中間拋物線的最高點(diǎn)，左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱．經(jīng)過測算，中間拋物線的解析式為
y=-x²+10，并且BD=CD．
（1）求鋼梁最高點(diǎn)離橋面的高度OE的長；
（2）求橋上三條鋼梁的總跨度AB的長；
（3）若拉桿DE∥拉桿BN，求右側(cè)拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+10，
∴當(dāng)x=0時，y=10，
∴鋼梁最高點(diǎn)離橋面的高度OE的長10m；

（2）∵y=-x²+10
∴當(dāng)y=0時，0=-x²+10，
∴x=±20，
∴C（-20，0），D（20，0），
∴DC=40，
∵BD=CD，
∴BD=20，
∵左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，
∴AC=BD=20，
∴AB=40+20+20=80m；

（3）作NF⊥x軸于點(diǎn)F，連結(jié)DE、BN
∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，
∵DE∥BN，
∴∠2=∠1，
∴△NFB∽△EOD，
∴，
∴，
∴NF=5．
∴N（30，5）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-30）²+5，由題意，得
0=a（20-30）²+5，
a=-
∴．
分析：（1）將x=0代入拋物線的解析式就可以直接求出結(jié)論．
（2）當(dāng)y=0時代入拋物線的解析式，求出其交點(diǎn)坐標(biāo)就可以求出CD的長度，從而就可以BD、CD的值而得出結(jié)論．
（3）由（2）的結(jié)論可以求出點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo)，作NF⊥x軸于點(diǎn)F，連結(jié)DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式的運(yùn)用，軸對稱的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．