Question

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如楊輝三角就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)降冪排列）的系數(shù)規(guī)律例如，在三角形中第一行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3ab+3ab2+b3展開(kāi)式中的系數(shù)．結(jié)合對(duì)楊輝三角的理解完成以下問(wèn)題

（1）（a+b）2展開(kāi)式a2+2ab+b2中每一項(xiàng)的次數(shù)都是　 　次；

（a+b）3展開(kāi)式a3+3a2b+3ab2+b3中每一項(xiàng)的次數(shù)都是　 　次；

那么（a+b）n展開(kāi)式中每一項(xiàng)的次數(shù)都是　 　次．

（2）寫出（a+1）4的展開(kāi)式　 　．

（3）拓展應(yīng)用：計(jì)算（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的結(jié)果中，x5項(xiàng)的系數(shù)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2，3，n；（2）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（3）16.

【解析】

（1）觀察（a+b）2展開(kāi)式和（a+b）3展開(kāi)式中各項(xiàng)，即可得答案，從而推出（a+b）n的展開(kāi)項(xiàng)；

（2）根據(jù)楊輝三角圖中可知（a+1）4的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，即可得解；

（3）（x+1）5中x5項(xiàng)的系數(shù)為1；再按楊輝三角，分別求得（x﹣1）6和（x+1）7展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù)，幾個(gè)系數(shù)相加即可得答案．

解：（1）（a+b）2展開(kāi)式a2+2ab+b2中的項(xiàng)分別為：a2、2ab、b2，它們的次數(shù)都是2，

（a+b）3展開(kāi)式a3+3a2b+3ab2+b3中的項(xiàng)分別為：a3、3a2b、3ab2、b3，它們的次數(shù)都是3，

由此推出（a+b）n展開(kāi)式的次數(shù)都是n，

故答案為：2，3，n；

（2）根據(jù)楊輝三角圖中可知（a+1）4的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)分別為：1，4，6，4，1則展開(kāi)式為：（a+1）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，

故答案為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（3）（x+1）5中x5項(xiàng)的系數(shù)為1，

按照楊輝三角可知（x﹣1）6＝x6+6x5（﹣1）+…+1，（x+1）7＝x7+7x6×1+21x5×12+…+1，

∴（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的結(jié)果中，x5項(xiàng)的系數(shù)為：1+6×（﹣1）+21＝16

故答案為：16．