Question

【題目】已知：拋物線(xiàn)交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB＝7．

（1）如圖1，求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上，連接CD，AD，AD交y軸于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，△CDE的面積為S，求S與d之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量d的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)P在DH上，連接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及相應(yīng)S的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）D(4，3)，8

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合AB的長(zhǎng)，即可得到答案；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，設(shè)∠DAB＝α，易得，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)E作CE的垂線(xiàn)，過(guò)C作∠OCP的平分線(xiàn)交DE于點(diǎn)J，交CE的垂線(xiàn)于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作ED的平行線(xiàn)交HD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連接CN．易得∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，設(shè)HE＝3k，CP＝5k，先證△CFN為等腰三角形，再證PC＝PN＝5k，由勾股定理得（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，可得，結(jié)合，即可求解．

（1）∵，令y＝0，則（x+2）（x﹣m）＝0，解得：，

∴A(﹣2，0)，B(m，0)，

∵AB＝7，

∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，

∴；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，設(shè)∠DAB＝α，

∵點(diǎn)D在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，

∴，

∴，

∵C(0，5)，

∴EO＝AOtanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，

∴；

（3）過(guò)點(diǎn)E作CE的垂線(xiàn)，過(guò)C作∠OCP的平分線(xiàn)交DE于點(diǎn)J，交CE的垂線(xiàn)于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作ED的平行線(xiàn)交HD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連接CN．

∵EF⊥CE，DH⊥CE，

∴EF∥DH∥AB，

∵設(shè)∠DAB＝α，∠OCP＝2∠DAB，CF平分∠OCP，

∴∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，

∵HE：CP＝3：5，

∴設(shè)HE＝3k，CP＝5k，

由（2）可知：CE＝HD＝d，

又∵∠CEF＝∠CHD＝90°，

∴△CEF≌△DHE（ASA），

∴EF＝HE，CF＝DE，

∵EF∥DN，NF∥DE，

∴四邊形EDNF為平行四邊形，

∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∠DNF=∠DEF=α，

∴△CFN為等腰三角形，

∴∠FCN＝∠FNC，

∴∠PCN＝∠FCN-α=∠FNC-α=∠PNC，

∴PC＝PN＝5k，

∴PD＝2k，

∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，

∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，

∴(d﹣6k)(d+k)＝0，

∴d＝6k，

∴在Rt△DHE中，，

由（2）知，

∴．

∴d＝4，

∴D(4，3)，．