Question

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)EB交OD于點(diǎn)F．

(1)求證：OD⊥BE；

(2)若DE＝，AB＝5，求AE的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)聯(lián)結(jié)AD 　　∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠AEB＝90°　1分 　　∵AB＝AC，∴CD＝BD 　　∵OA＝OB，∴OD∥AC 　　∴OD⊥BE　2分 　　(2)方法一：∵∠CEB＝∠AEB＝90°，CD＝BD，AB＝5，DE＝ 　　∴AC＝AB＝5，BC＝2DE＝2，　3分 　　在△ABE、△BCE中，∠CEB＝∠AEB＝90°，則有 　　設(shè)AE＝x，則　4分 　　解得：x＝3 　　∴AE＝3　5分 　　方法二：∵OD⊥BE，∴BD＝DE，BF＝EF　3分 　　設(shè)AE＝x，∴OF＝，在△OBF、△BDF中，∠OFB＝∠BFD＝90° 　　∴ 　　∵DE＝，AB＝5，∴　4分 　　解得：x＝3，∴AE＝3　5分 　　方法三：∵BE⊥AC　AD⊥BC， 　　∴S△ABC＝BC·AD＝AC·BE，　3分 　　∴BC·AD＝AC·BE 　　∵BC＝2DE＝2，AC＝AB＝5 　　∴BE＝4，　4分 　　∴AE＝3　5分