Question

已知：如圖，AB、AC、ED分別切⊙O于點B、C、D，且AC⊥DE，垂足為E，BC的延長線交直線DE于點F，若BC＝24，sin∠F＝．

(1)求EF的長；

(2)試判斷直線AB與CD是否平行，若平行，給出證明；若不平行，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AC⊥DE，∴∠CEF＝． 　　∵sin∠F＝，設(shè)CE＝3x，則CF＝5x，由勾股定理得EF＝4x． 　　∵ED、EC分別與⊙O相切， 　　∴ED＝EC＝3x． 　　由切割線定理知：FD2＝FC·FB． 　　∴(7x2)＝5x(5x＋24)． 　　化簡整理，得x2－5x＝0， 　　∴x1＝5，x2＝0(不合題意，舍去)． 　　∴EF＝4x＝20． 　　(2)AB與CD不平行，下面證明之． 　　[證法一] 　　連結(jié)BD．∵ED切⊙O于點D， 　　∴∠CBD＝∠CDF， 　　又∵∠F＝∠F， 　　∴△BDF∽△DCF． 　　∴＝．　�、� 　　由(1)知CF＝5x＝25，DF＝7x＝35， 　　在等腰直角△CDE中，由勾股定理得DC＝15． 　　把CF＝25，DF＝35，DC＝15代入①，得BD＝21． 　　在△BDC中，∵BD≠BC， 　　∴∠BDC≠∠BCD． 　　而∠ABC＝∠BDC(弦切角定理)， 　　∴∠ABC≠∠BCD， 　　∴AB與CD不平行． 　　此題還可以用反證法來證明．思路是：假定AB∥CD(否定結(jié)論)，由此導(dǎo)致矛盾，故斷言AB與CD不平行． 　　[證法二] 　　假設(shè)AB∥CD，則∠BCD＝∠ABC， 　　又∵∠BDC＝∠ABC， 　　∴∠BCD＝∠BDC，則BD＝BC＝24． 　　由△BDF∽△DCF，得＝． 　　由(1)知CF＝25，DF＝35，在等腰直角三角形DCE中，可求得DC＝15． 　　∴＝． 　　∴BD＝21，這與前面求得BD＝24矛盾． 　　∴假設(shè)不成立． 　　∴AB與CD不平行．

提示：

(1)本小題要求EF的長，需要找出它與已知線段BC的關(guān)系，求解的關(guān)鍵在于利用條件sin∠F＝．設(shè)CE＝3x，則CF、EF都可用含x的代數(shù)式來表示；再由切割線定理給出的等量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程，便可求得EF的長．幾何綜合題中的計算問題，往往都要利用方程的思想求解． 　　(2)本小題是個開放性問題，面對開放性問題的多種可能結(jié)論，往往是首先作出“猜想”，然后再給出嚴(yán)格證明或科學(xué)解釋．本題只要根據(jù)條件準(zhǔn)確地作出圖形，就能觀察出AB、CD是不平行的．而證明兩直線不平行的主要依據(jù)是平行線性質(zhì)定理的逆否定理，為此，連結(jié)BD，通過它來證明它們有一對內(nèi)錯角不相等．