Question

【題目】如圖，拋物線的頂點坐標為，并且與軸交于點，與軸交于、兩點．

（）求拋物線的表達式．

（）如圖，設拋物線的對稱軸與直線交于點，點為直線上一動點，過點作軸的平行線，與拋物線交于點，問是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或.

【解析】試題分析：（1）設拋物線的表達式為y=a（x-2）2-1（a≠0），將點C的坐標代入即可得出答案；（2）由直線BC的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由題意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB，根據這種情況求點E的坐標即可．

試題解析：

（）該拋物線的頂點坐標為，所以該拋物線的解析式為，又該拋物線過點，代入得：

，解得，故該拋物線的解析式為+3．

（）假設存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似．

由（1）知，該拋物線的解析式是y=x2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），

∴該拋物線與x軸的交點坐標分別是A（1，0），B（3，0）．

∵C（0，3），

∴易求直線BC的解析式為：y=-x+3．

∴∠OBC=∠OCB=45°．

又∵點D是對稱軸上的一點，

∴D（2，1）．

如圖，連接DF．

∵EF∥y軸，

∴只有∠EFD=∠COB=90°．

∵以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似，

∴∠DEF=∠FDE=45°，

∴只有△EFD∽△COB．

設E（x，-x+3），則F（x，1），

∴1=x2-4x+3，

解得x=2± ，

當x=2+時，y=-x+3=1-；

當x=2-時，y=-x+3=1+；

∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．

∠EDF=90°；易知，直線AD：y=x-1，聯立拋物線的解析式有：

x2-4x+3=x-1，解得 x1=1、x2=4；

當x=1時，y=-x+3=2；

當x=4時，y=-x+3=-1；

∴E3（1，2）、E4（4，-1）．

∴綜上，點E的坐標為（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．