Question

有一個(gè)長(zhǎng)方形OBCD放在一個(gè)數(shù)軸上（長(zhǎng)方形一個(gè)頂點(diǎn)和遠(yuǎn)點(diǎn)重合），如圖示．如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)OB=4，寬BC=3
（1）求長(zhǎng)方形對(duì)角線BD的長(zhǎng)度．
（2）若點(diǎn)M、N在數(shù)軸上分別代表實(shí)數(shù)-3與9，如圖示．有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從M出發(fā)，速度為每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位，沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)為止．問：何時(shí)點(diǎn)Q、B、D構(gòu)成等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)OB=4，寬BC=3，
∴OD=BC=3，
由勾股定理得，BD===5；

（2）如圖，∵M(jìn)表示出-3，D表示3，
∴MD=3-（-3）=3+3=6，
①BD是腰，點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)時(shí)，∵BO⊥DQ，
∴OQ=OD=3，
∴點(diǎn)Q與M重合，
∴MQ=0，
此時(shí)，t=0，
BD是腰，點(diǎn)B是底角頂點(diǎn)時(shí)，DQ=BD=5，
MQ=6-5=1，
此時(shí)，t=1÷1=1，
②BD是底邊時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥BD于E，
則DE=BD=×5=2.5，
cos∠BDO==，
即=，
解得DQ=，
MQ=6-=，
此時(shí)，t=÷1=，
③BD是腰，點(diǎn)D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，DQ=BD=5，
∴MQ=6+5=11，
此時(shí)，t=11÷1=11，
綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0秒、1秒、秒、11秒時(shí)，點(diǎn)Q、B、D構(gòu)成等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得OD=BC，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）分BD是腰，點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)和底角頂點(diǎn)，BD是底邊，BD是腰，點(diǎn)D是頂角頂點(diǎn)三種情況分別求出QD的長(zhǎng)度，再求出MQ，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，難點(diǎn)在于（2）要根據(jù)腰長(zhǎng)的不同和點(diǎn)Q的位置的不同分情況討論．