Question

19．綜合與探究
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數(shù)表達式為y=-x²+3x+4．拋物線W于x后交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C．它的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求A、B、C三點坐標及拋物線W的對稱軸；
（2）如圖2，將拋物線W沿x軸向右平移m個單位得到拋物線W′，設拋物線W′的對稱軸與x軸交于點E，與線段BC交于點F，過點F作x軸的平行線，交拋物線W的對稱軸于點P．
①求當m為何值時，四邊形EDPF的面積最大？最大面積為多少？
②以點E為中心，將四邊形EDPF繞點E順時針旋轉90°，得到四邊形EGHB．點D的對應點為G（如圖3），求當m的值為多少時，點G恰好落在拋物線W上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得A、B、C點坐標，根據(jù)配方法，可得對稱軸；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質，可得EF的長，根據(jù)矩形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案；
（3）根據(jù)旋轉性質，可得G點坐標，根據(jù)點的坐標滿足函數(shù)解析式，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
把y=0代入y=-x²+3x+4，得
-x²+3x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
∴A，B兩點坐標分別為（-1，0），（4，0）；
把x=0代入y=-x²+3x+4，得y=4，
∴C點坐標為（0，4）．
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴拋物線W的對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$；
（2）①，
∵B，C兩點坐標分別為（4，0），（0，4），
∴OC=OB，∠OCB=∠OBC=45°，
又∵FE∥OC，
∴∠EFB=∠OCB=∠OBC=45°，
∴EF=BE．
∵四邊形DEFP為矩形，
∴DE=PF=m．
∴EF=BE=4-$\frac{3}{2}$-m=$\frac{5}{2}$-m，
設四邊形DEFP的面積為S，
則S=DE•EF=m（$\frac{5}{2}$-m）=-m²+$\frac{5}{2}$m=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$
∴當m=$\frac{5}{4}$時，四邊形DEFP的面積最大，最大面積為$\frac{25}{16}$；
②如圖3，
∵四邊形EDPF為矩形，
∴DE=PF=m．
∴點E橫坐標為$\frac{3}{2}$+m，
又∵四邊形EGHB是由四邊形EDPF旋轉得到的，
∴EG=DE=m，
∴點G坐標為（$\frac{3}{2}$+m，m）．
把x=$\frac{3}{2}$+m，y=m代入拋物線W的解析式，得
-（$\frac{3}{2}$+m）²+3（$\frac{3}{2}$+m）+4=m．
解得：m₁=$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{26}}{2}$（不合題意，舍去），
∴當m的值為$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$時，點G恰好在拋物線W上．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應關系求對應點；利用矩形的面積得出二次函數(shù)是解題關鍵；利用旋轉的性質得出G點坐標是解題關鍵．