Question

（2012•佳木斯）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12

2

，點C的坐標為（-18，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長度，即可求出B點坐標；
（2）已知E點坐標，欲求直線DE的解析式，需要求出D點的坐標．如答圖1所示，構(gòu)造相似三角形△ODG∽△OBA，由線段比例關(guān)系求出D點坐標，從而可以求出直線DE的解析式；
（3）如答圖2所示，符合題意的點Q有4個，注意不要遺漏．

解答：解：（1）過點B作BF⊥x軸于F
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12

2

∴CF=BF=12     
∵C 的坐標為（-18，0）
∴AB=OF=6
∴點B的坐標為（-6，12）．

（2）過點D作DG⊥y軸于點G
∵AB∥DG
∴△ODG∽△OBA       
∵

DG

AB

=

OD

OB

=

OG

OA

=

2

3

，AB=6，OA=12
∴DG=4，OG=8   
∴D（-4，8），E（0，4）
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

-4k+b=8 b=4

∴

k=-1 b=4

∴直線DE解析式為y=-x+4．

（3）結(jié)論：存在．
設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4

2

．
如答圖2所示，有四個菱形滿足題意．
①菱形OEP₁Q₁，此時OE為菱形一邊．
則有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF-P₁E=4

2

-4．
易知△P₁NF為等腰直角三角形，∴P₁N=NF=

2

2

P₁F=4-2

2

；
設(shè)P₁Q₁交x軸于點N，則NQ₁=P₁Q₁-P₁N=4-（4-2

2

）=2

2

，
又ON=OF-NF=2

2

，∴Q₁（2

2

，-2

2

）；
②菱形OEP₂Q₂，此時OE為菱形一邊．
此時Q₂與Q₁關(guān)于原點對稱，∴Q₂（-2

2

，2

2

）；
③菱形OEQ₃P₃，此時OE為菱形一邊．
此時P₃與點F重合，菱形OEQ₃P₃為正方形，∴Q₃（4，4）；
④菱形OP₄EQ₄，此時OE為菱形對角線．
由菱形性質(zhì)可知，P₄Q₄為OE的垂直平分線，
由OE=4，得P₄縱坐標為2，代入直線解析式y(tǒng)=-x+4得橫坐標為2，則P₄（2，2），
由菱形性質(zhì)可知，P₄、Q₄關(guān)于OE或y軸對稱，∴Q₄（-2，2）．
綜上所述，存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形；
點Q的坐標為：Q₁（2

2

，-2

2

），Q₂（-2

2

，2

2

），Q₃（4，4），Q₄（-2，2）．

點評：本題綜合考查了坐標平面內(nèi)平面圖形的性質(zhì)，包括直角梯形、等腰直角三角形、相似三角形、菱形、正方形等，涉及考點較多，有一定的難度．第（1）（2）問難度不大，第（3）問中考生容易漏掉菱形的某種情形，是本題的難點．