Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)A，點(diǎn)C為某個(gè)菱形的一組對(duì)角的頂點(diǎn)，且點(diǎn)A，C在直線y＝x上，那么稱該菱形為點(diǎn)A，C的“極好菱形“．如圖為點(diǎn)A，C的“極好菱形”的一個(gè)示意圖．已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．

（1）點(diǎn)E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能夠成為點(diǎn)M，P的“極好菱形“的頂點(diǎn)的是　 　；

（2）若點(diǎn)M，P的“極好菱形”為正方形，求這個(gè)正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如果四邊形MNPQ是點(diǎn)M，P的“極好菱形”．

①當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1）時(shí)，求四邊形MNPQ的面積；

②當(dāng)四邊形MNPQ的面積為12，且與直線y＝x+b有公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）G；（2）正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）、（3，1）；（3）①S四邊形MNPQ＝4；②﹣6≤b≤6．

【解析】

（1）如圖1中，觀察圖象可知：G能夠成為點(diǎn)M，P的“極好菱形”頂點(diǎn)．

（2）先求得對(duì)角線PM的長(zhǎng)，從而可得到正方形的邊長(zhǎng)，然后可得到這個(gè)正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）①先依據(jù)題意畫出圖形，然后可證明該四邊形為正方形，從而可求得它的面積；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)得：PM⊥QN，且對(duì)角線互相平分，由菱形的面積為12，且菱形的面積等于兩條對(duì)角線積的一半，可得QN的長(zhǎng)，推出Q，N的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．

解：（1）如圖1中，由題意點(diǎn)M，P的“極好菱形“的頂點(diǎn)，在線段PM的垂直平分線上．

觀察圖象可知：滿足條件的點(diǎn)是點(diǎn)G，

故答案為G．

（2）如圖2所示：

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），

∴MP＝2，

∵“極好菱形”為正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)為2，

∴其邊長(zhǎng)為2．

∴這個(gè)正方形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）、（3，1）．

（3）①如圖2所示：

∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），

∴MN＝2，PN⊥MN．

∵四邊形MNPQ是菱形，

∴四邊形MNPQ是正方形．

∴S四邊形MNPQ＝4．．

②如圖3所示：

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3），

∴PM＝2，

∵菱形MNPQ的面積為12，

∴S菱形MNPQ＝PMQN＝12，即×2×QN＝12，

∴QN＝6，

∴Q（﹣1，5），N（5，﹣1），

當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)Q（﹣1，5）時(shí)，b＝6，

當(dāng)y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)N（5，﹣1）時(shí)，b＝﹣6，

∴當(dāng)四邊形MNPQ與直線y＝x+b有公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是﹣6≤b≤6．