如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的對稱中心,MN交AB于F,QM交AD于E.
(1)求證:ME=MF.
(2)如圖2,若將原題中的“正方形”改為“菱形”,其他條件不變,探索線段ME與線段MF的關(guān)系,并加以證明.
(3)如圖3,若將原題中的“正方形”改為“矩形”,且AB=mBC,其他條件不變,探索線段ME與線段MF的關(guān)系,并說明理
(4)根據(jù)前面的探索和圖4,你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況?若能,寫出推廣命題;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,首先證明M是正方形ABCD對角線的交點(diǎn),然后證明△MHF≌△MGE,利用全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF;
(2)ME=MF.過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,由M是菱形ABCD的對稱中心和菱形的性質(zhì)得到 AM平分∠BAD,然后利用已知條件證明△MHF≌△MGE,最后利用全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF;
(3)ME=mMF.過點(diǎn)M作ME⊥AB于E,MG⊥AD于G,利用矩形ABCD性質(zhì)和已知條件證明∠HMF=∠GME,∠MGE=∠MHF,得出△MGE∽△MHF,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;
(4)平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBD,由于M是平行四邊形ABCD的對稱中心,MN交AB于F,AD交QM于E.則ME=mMF.證明方法和(1)(2)(3)方法一樣.
解答:證明:(1)過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,
∵M(jìn)是正方形ABCD的對稱中心,
∴M是正方形ABCD對角線的交點(diǎn),
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG
在正方形ABCD中,∠A=90°,
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°,
在正方形QMNP,∠EMF=90°,
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE.
∴△MHF≌△MGE,
∴MF=ME.(3分)

(2)ME=MF.證明:過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,
∵M(jìn)是菱形ABCD的對稱中心,
∴M是菱形ABCD對角線的交點(diǎn),∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
∵BC∥AD,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠QMN=∠B,
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°,在四邊形HMGA中,∠HMG+∠BAD=180°,
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE,
∴△MHF≌△MGE,
∴ME=MF.(6分)

(3)MF=mME.
證明:過點(diǎn)M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∴∠EMF=∠B=90°,
又∵∠MGA=∠MGE=90°,在四邊形GMHA中,
∴∠GMH=90°,
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF,
∴∠HMF=∠GME,
∵∠MGE=∠MHF,
∴△MGE∽△MHF,
==,
又∵M(jìn)是矩形ABCD的對稱中心,
∴M是矩形ABCD對角線的中點(diǎn)
∴MG∥BC,
∴MG=BC.同理可得MH=CD,
∵AB=mBC,
∴MF=mME.(9分)

(4)平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBC,M是平行四邊形ABCD的對稱中心,MN交AD于F,AB交QM于E.則MF=mME.(10分)
點(diǎn)評:此題分別考查了正方形、菱形、矩形、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定,綜合性比較強(qiáng),要求學(xué)生對于這些知識點(diǎn)非常熟練,才能很好的解決問題.
練習(xí)冊系列答案
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21、如圖,在正方形網(wǎng)格上的一個△ABC.(其中點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格上)
(1)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形;
(2)以P點(diǎn)為一個頂點(diǎn)作一個與△ABC全等的三角形(規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對應(yīng),另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處).

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(2012•安慶一模)如圖,等腰直角△ABC沿MN所在的直線以2cm/min的速度向右作勻速運(yùn)動.如果MN=2AC=4cm,那么△ABC和正方形XYMN重疊部分的面積S(cm2)與勻速運(yùn)動所用時間t(min)之間的函數(shù)的大致圖象是( �。�

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如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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(1)利用網(wǎng)格畫出AC邊上的中線BD(不寫畫法,寫出結(jié)論,下同);
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(3)用直尺和圓規(guī)在右邊方框中作一個△A′B′C′與△ABC全等.

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同步練習(xí)冊答案
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