Question

如圖，拋物線y=x²-x+a與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y=-2x上．
（1）求A，B的坐標；
（2）以AC，CB為一組鄰邊作?ABCD，則點D關于軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先配方得到y(tǒng)=x²-x+a=（x-1）²+a-，得到拋物線的頂點坐標為（1，a-），然后代入y=-2x求得a=-，則拋物線的解析式為y=x²-x-，然后令y=0，得x²-x-=0，解方程得x₁=-1，x₂=3，即可得到A，B的坐標；
（2）先求出C點坐標（0，-），由四邊形ACBD為平行四邊形，則BD看做是AC平移得到，而C點（0，-）向上平移個單位，向右平移3個單位得到B點（3，0），
于是把A點（-1，0）向上平移個單位，向右平移3個單位得到D點（2，），則點D′的坐標為（2，-），然后把D′的坐標為（2，-）代入拋物線的解析式即可判斷點D關于軸的對稱點D′是否在該拋物線上．
解答：解：（1）∵y=x²-x+a=（x-1）²+a-，
∴拋物線的頂點坐標為（1，a-），
∵頂點在直線y=-2x上，
∴a-=-2×1，
∴a=-，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-，
令y=0，則x²-x-=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A點坐標為（-1，0），B點坐標為（3，0）；

（2）點D′在該拋物線上．理由如下：
如圖，令x=0，y=-，則C點坐標為（0，-），
∵四邊形ACBD為平行四邊形，
∴BD看做是AC平移得到，
而C點（0，-）向上平移個單位，向右平移3個單位得到B點（3，0），
∴把A點（-1，0）向上平移個單位，向右平移3個單位得到D點（2，），
∵點D與點D′關于x軸對稱，
∴點D′的坐標為（2，-），
當x=2，y=x²-x-=×4-2-=-，
∴點D′在該拋物線上．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點式為y=a（x-）2+；通過坐標平移變換的規(guī)律確定平行四邊形第四個頂點的坐標；關于x軸對稱的坐標特點；點在拋物線上，則點的坐標滿足拋物線的解析式．