試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.
【答案】分析:寫出n>6時的自然數(shù),得到必有一個數(shù)A與n互質(zhì),然后分三種情況討論:(1)當(dāng)n為奇數(shù)時;(2)當(dāng)n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時;(3)當(dāng)n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時.
解答:證明:直觀上可以這樣看,當(dāng)n>6時,在2,3,…,n-2中,必有一個數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n-2),
記B=n-A≥2,有n=A+B,
此時,A與B必互質(zhì),否則A與B有公約數(shù)d>1,則d也是n的約數(shù),從而A與n有大于1的公約數(shù),與A、n互質(zhì)矛盾.
(1)當(dāng)n為奇數(shù)時,
n=2+(n-2),或n=+
(2)當(dāng)n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時,n=+
由n>6知>1,且、均為奇數(shù),
,)=(,4)=1.
(3)當(dāng)n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時,有n=+
由n>6知>1,且、均為奇數(shù),
)=(,2)=1.
點(diǎn)評:此題考查了自然數(shù)中互質(zhì)的數(shù)的判定,分類討論在解題中起著至關(guān)重要的作用,不可輕視.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知N=
11…1
2006個
22…2
2006個
,試將N表示為4個大于1的自然數(shù)之積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知:5|(x+9y)(x,y為整數(shù)),求證:5|(8x十7y).
(2)試證:每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

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同步練習(xí)冊答案
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