Question

已知關于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當m為何值時，方程的兩根互為相反數(shù)？求出此時方程的根．

Answer 1

解：（1）證明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=b²-4ac=（m+2）²-4×1×（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4．
∵無論m為任何實數(shù)，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4≥4＞0．
∴無論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵方程的解為x==，
∴x₁=，x₂=
∵方程兩根互為相反數(shù)，即x₁+x₂=0．
∴+=0，
∴．
∴m=-2．即當m=-2時，方程的兩根互為相反數(shù)．
把m=-2代入方程x²+（m+2）x+2m-1=0，
解得x=±，
當方程的兩根互為相反數(shù)時，此時方程的根為x₁=，x₂=-．
分析：（1）根據(jù)題意求出△的值，判斷出△的符號即可；
（2）先根據(jù)求根公式求出x的值，再根據(jù)兩根互為相反數(shù)即可求出m的值，把m的值代入原方程求出x的值即可．
點評：本題考查的是根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac的關系是解答此題的關鍵．