Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)C位于第二象限，連結(jié)AB，AC，BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，且在B點(diǎn)上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系；

（3）設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長度(0＜t≤3)時(shí)，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）S＝ 

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3）求得m的值，再由拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，即可得到結(jié)果；

（2）由A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）根據(jù)勾股定理可求得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，再結(jié)合∠DCB=∠CAB，即可證得結(jié)果；

（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖，EF交AB于點(diǎn)Q，GF交AC于點(diǎn)N，過N做MP//FE交x軸于P點(diǎn)，交BF的延長線點(diǎn)M，BF的延長線交AC于點(diǎn)K，由△AGN∽△KFN根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可表示出PN，即可得到結(jié)果；當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖， EF交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，BF交AC于點(diǎn)P，由△AME∽△PMF根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可表示出ME，從而可以求得結(jié)果.

（1）拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3）

∴ 

∴ 

拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，

∴ 

∴拋物線的解析式為；

（2）A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）

∴

∴

∴

∴

又

∴

∴；

（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖，EF交AB于點(diǎn)Q，GF交AC于點(diǎn)N，過N做MP//FE交x軸于P點(diǎn)，交BF的延長線點(diǎn)M，BF的延長線交AC于點(diǎn)K

由△AGN∽△KFN

得

即

解得PN＝2t

∴

當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖， EF交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，BF交AC于點(diǎn)P

由△AME∽△PMF

得

即

解得ME＝2(3－t)

∴

綜上所述：S＝ 

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，畫出圖形，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式解決問題.