Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以PQ為邊作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆時(shí)針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄?/span>S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．S最小值=；（3）t1=；t2=；t3=1，t4=．

【解析】

試題（1）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，利用面積法求得BM的長(zhǎng)度，利用勾股定理得到AM的長(zhǎng)度，最后由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．利用（1）中的結(jié)論和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面積公式得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來求其最值；

（3）需要分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上、點(diǎn)F在邊HG上、點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）、點(diǎn)F邊C上時(shí)相對(duì)應(yīng)的t的值．

試題解析：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，

∵AC=9，S△ABC=，

∴ACBM=，即×9BM=，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM===4，

則tanA==；

（2）存在．

如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．

依題意得AP=CQ=5t．

∵tanA=，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根據(jù)勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，

S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜）．

∵﹣==在t的取值范圍之內(nèi)，

∴S最小值===；

（3）

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上時(shí)，t1=；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在邊HG上時(shí)，t2=；

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）時(shí)，t3=1

④如圖6，當(dāng)點(diǎn)F邊C上時(shí)，t4=．