Question

觀察下列等式：

1+ 1 12 + 1 22

=1+1-

1

2

，

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

3

，

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

4

，…
（1）猜想并寫出第n個(gè)等式；
（2）證明你寫出的等式的正確性．

Answer 1

分析：（1）觀察各式，即可得到規(guī)律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

；
（2）利用分式的加減運(yùn)算法則求解，可得1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=[1+

1

n

-

1

(n+1)

]2，繼而可證得結(jié)論．

解答：解：（1）猜想：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

；

（2）證明：∵1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=1+[

1

n

-

1

(n+1)

]2+2×

1

n(n+1)

=1+[

1

n

-

1

(n+1)

]2+2[

1

n

-

1

(n+1)

]=[1+

1

n

-

1

(n+1)

]2
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．

點(diǎn)評：此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡．此題難度適中，屬于規(guī)律性題目，注意能根據(jù)題意得到規(guī)律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

是解此題的關(guān)鍵．