Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30度．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．
（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．
（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

Answer 1

解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．
由已知，ND=x，AN=20-x．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴∠PAN=∠D=30度．
在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x），
即點N到AB的距離為（20-x）．
∵點N在AD上，0≤x≤20，點M在AB上，0≤x≤15，
∴x的取值范圍是0≤x≤15．

（2）根據(jù)（1）S_△AMN=AM•NP=x（20-x）=-x²+5x．
∵＜0，
∴當x=10時，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴當x=10時，S_{五邊形BCDNM}有最小值．
當x=10時，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．
則當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形．
分析：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P，根據(jù)題意AM=x，易得AN=20-x；在Rt△APN中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得答案；注意x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）△AMN的面積關系，可得當x=10時，S_△AMN有最大值；又有梯形的面積為定值，故可得ND=AM=10，AN=AD-ND=10，進而可得答案．
點評：此題綜合性較強，綜合考查了等腰梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)等知識點．