如圖所示，已知正方形ABCD中，P是BD上任意一點，PE⊥BC，垂足為E點，PF⊥CD垂足為F，求證：AP⊥EF．

答案：略
解析：

證明：如圖所示，連接PC，設PC與EF交于O，延長AP交EF于H．

因為PE⊥BC于E點，PF⊥DC于F點，

所以∠PEC=∠PFC=90°

因為正方形四個角都為直角，∠ECF=90°，

所以四邊形FCEP是矩形，

所以OE=OF=OC=OP，∠FPE=90°，

所以∠2=∠3．

因為BD是正方形ABCD的對角線，

所以A、C關于BD成軸對稱點，

所以△ABP與△CBP關于BD成軸對稱，

所以∠3=∠1，所以∠2=∠1．

因為PE⊥BC，∠ABC=90°，

所以PE∥AB(同位角相等，兩直線平行)，

所以∠4=∠1，所以∠4=∠2，

所以∠4＋∠FPH=∠2＋∠FPH=90°，

所以∠PHF=90°，所以AP⊥EF．


提示：

要證AP⊥EF，需證AP與EF所成的角為90°，所以應延長AP交EF于H，如圖，證∠PHF=90°．


練習冊系列答案
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33、如圖所示，已知正方形ABCD，延長CB至E，連接AE，過點A作AF⊥AE交DC于F．
求證：△ADF≌△ABE．

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（2013•尤溪縣質(zhì)檢）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于點F，設BE=x，F(xiàn)C=y，則當點E從點B運動到點C時，y關于x的函數(shù)圖象是
①
①
（填序號）

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如圖所示，已知正方形ABCD的面積是8平方厘米，正方形EFGH的面積是62平方厘米，BC落在EH上，△ACG的面積是4.9平方厘米，則△ABE的面積是（　�。�

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k
x
(k＞0，x＞0)的圖象上，點P（m，n）（6≤m≤9）是函數(shù)y=
k
x
(k＞0，x＞0)的圖象上動點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，若設矩形OEPF和正方形OABC不重合的兩部分的面積和為S．
（1）求B點坐標和k的值；
（2）寫出S關于m的函數(shù)關系和S的最大值．

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