Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+3ax-4a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A、C、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a值，繼而可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意及二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P為AC和對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，PB+PC的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）本題應(yīng)分情況討論：將AC平移，令C點(diǎn)落在x軸（即M點(diǎn)）、A點(diǎn)落在拋物線（即N點(diǎn)）上，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出N點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+3ax-4a過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴-4a=-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；
（2）如圖1所示，連接PA、PB、PC，
∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴PB=PA，x_P=-

3

2

，
∴PB+PC=PA+PC，
要使PB+PC最小，即PA+PC最小，
點(diǎn)P需在AC上，
令

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=1，
即點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A、C代入解析式為：

-4k+b=0 b=-2

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
解析式為：y=-

1

2

x-2，
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y=-

5

4

，
即當(dāng)PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

5

4

）；

（3）存在．
①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，則AM∥NC，如圖2所示，
易得N₁（-3，-2）；
②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，AC∥MN，AC=MN，
線段MN可以看成由線段AC平移得到，
則y_N-y_A=y_M-y_C，y_N=2，
∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴

1

2

x²+

3

2

x-2=2，
解得：x=

-3± 41

2

，
此時(shí)存在點(diǎn)N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）；
③當(dāng)CN為對(duì)角線時(shí)AM∥CN，且AM=CN，
易得點(diǎn)N₄（-3，-2）與點(diǎn)N₁重合．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)有三種情況，分別為：
N₁（-3，-2）；N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求較高．