
(1)證明:∵過P作⊙C的切線交線段AB于F點,
∴CP⊥FP,
∴∠1+∠2=90°,
∵在矩形ABCD中,
∴∠D=∠A=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∴△CDP∽△PAF;
(2)解:∵△CDP∽△PAF,
∴

=
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,
∵DP=x,AF=y,
∴

=

,
∴y=-

x
2+

x(0<x<3),
(3)證明:設(shè)△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q,

∵△AFP≌△QFP,
∴QF=AF=y,∠QPF=∠APF.
由PF是圓的切線可知:∠QPF+∠DPC=90°,∠QPF+∠QPC=90°.
∴∠QPC=∠DPC.
又∵∠DPC=∠PCQ,
∴△QPC為等腰三角形,
∴QC=QP=AP=3-x,則BQ=x.
在△FBQ中,F(xiàn)B=2-y,BQ=x,F(xiàn)Q=y
x
2+(2-y)
2=y
2整理得:x
2-4y+4=0,
由y=-
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x
2+
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x得3x
2-6x+4=0 因為(-6)
2-4×3×4<0,
所以此方程無實根,
所以這樣的點就不存在.
分析:(1)利用切線的性質(zhì)得出∠1+∠2=90°,進而利用矩形的性質(zhì)求得出∠2=∠3,進而得出△CDP∽△PAF;
(2)利用△CDP∽△PAF,得出
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=
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,進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)設(shè)△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q,利用已知首先判定△QPC為等腰三角形,再利用QC=QP=AP=3-x,利用勾股定理求出關(guān)于x的一元二次方程進而得出答案.
點評:此題主要考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識,利用反證法得出A點不在BC上是解題關(guān)鍵.