Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連結(jié)BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E．

1.求證：△ABD∽△CED．

2.若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長(zhǎng)．

 

Answer 1

 

1.證明：∵　△ABC是等邊三角形，

∴　∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．

∵　CE是外角平分線，　∴　∠ACE＝60°．

∴　∠BAC＝∠ACE。

又∵　∠ADB＝∠CDE，

∴　△ABD∽△CED。

2.解：作BM⊥AC于點(diǎn)M，AC＝AB＝6．              

∴　AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．

∵　AD＝2CD，∴　CD＝2，AD＝4，MD＝1。

在Rt△BDM中，BD＝＝．

由（1）△ABD∽△CED得，，，

∴　ED＝，∴　BE＝BD＋ED＝。

解析:（1）由于△ABC是等邊三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一組對(duì)頂角，兩組對(duì)應(yīng)角相等，可判定所求的兩個(gè)三角形相似；

（2）由于△ABC是等邊三角形，則AC=BC=6，由此可求出AC、CD的長(zhǎng)；過(guò)B作BM⊥AC于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)知AM=MC，由此可求出MD、MB的長(zhǎng)，進(jìn)而可由勾股定理求出BD的長(zhǎng)；根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AD、CD，BD、DE的比例關(guān)系式，即可求出DE的長(zhǎng)，從而由BE=BD+DE求出BE的長(zhǎng)．