Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，E、F分別是對角線AC和BD上的點，且AE=DF．求證：四邊形BCFE是等腰梯形．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OD=OB=OC，
∵AE=DF，
∴OE=OF，
∴=，
∵∠AOD=∠AOD，
∴△OEF∽△OAD（有兩邊對應長比例，且夾角相等的兩三角形相似），
∴∠OEF=∠OAD，
∴EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
∵EF＜AD，
∴EF≠BC，
∴四邊形BEFC是梯形，
∵OB=OC，OE=OF，∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，
∴梯形BEFC是等腰梯形．
分析：根據矩形的性質推出OA=OB=OC=OD，得出OE=OF，得出比例式，求出△OAD∽△OEF，推出∠OEF=∠OAD，得出EF∥AD∥BC，得出梯形，求出BE=CF，根據等腰梯形的判定推出即可．
點評：本題考查了等腰梯形的判定和相似三角形的性質和判定，平行線的判定等知識點的應用，關鍵是求出四邊形BEFC是梯形（即求出EF∥BC），題目比較好，難度適中．