Question

在平面直角坐標系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C（0，2），過點C作圓的切線交x軸于點D．
（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）設平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑，若不存在，請說明理由？
（4）若動點M在拋物線的對稱軸上，在拋物線上是否存在點N，使得以A、B、N、M四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經過A（-4，0），B（1，0），C（0，2），所以利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）首先根據AB兩點的坐標確定圓心的坐標，然后證明△O′CO∽△CDO，接著利用相似三角形的性質即可求解；
（3）存在．由拋物線對稱軸為x=-得到⊙O′的半徑為，設滿足條件的圓的半徑為R，點E在對稱軸左側，則E的坐標為（--R，--R），而E點在拋物線上，代入解析式中求出R即可解決問題；
（4）當ABNM為平行四邊形時，則AB∥MN，并且AB=MN．由AB=5得到MN=5，而對稱為x=-，由此得到點N的橫坐標為或-，將x=和x=-代入中即可求出得y，然后得到N的坐標，從而說明在拋物線上存在點N，
使得以A、B、N、M四點為頂點的四邊形為平行四邊形．
解答：解：（1）令二次函數y=ax²+bx+c，則
       
∴，
∴過A，B，C線的解析式為；

（2）以AB徑的圓圓心坐標為O′（-，0），
∴  
QCD為圓O′切線  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴，
∴  
∴
∴D坐標為（，0）；

（3）存在．
拋物線對稱軸為x=-，
設滿足條件的圓的半徑為R，點E在對稱軸左側，
則E的坐標為（--R，R）或（--R，-R）
而E點在拋物線上
∴R=-（--R）²-（--R）+2，
R₁=，R₂=-（不符合題意，應舍去）
或-R=-（--R）²-（--R）+2
∴R₁=1+，R₂=1-（不符合題意，應舍去）
∴R=1+，
故在以EF為直徑的圓，恰好與AB為直徑的圓相外切，該圓的半徑為R=或1+；

（4）當ABNM為平行四邊形時，則AB∥MN，并且AB=MN．
∵AB=5，
∴MN=5，由于對稱為x=-，
∴點N的橫坐標為或-．
將x=代入，
得y=-，
∴N（，-）．
將x=-代入，
得y=-，
∴N（-，-）．
所以，在拋物線上存在點N，
使得以A、B、N、M四點為頂點的四邊形為平行四邊形，
此時點N的坐標為（，-）或（-，-）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法確定拋物線的解析式和平行四邊形的性質．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．