Question

如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，點E在邊BA上以每秒2個單位的速度由B向A移動，過E作EF∥BC交AC于F，再過F作FD∥AB交BC于D，設E移動的時間為x（秒），EF為 y．
（1）求y與x之間的函數關系式．
（2）當x=______，四邊形BDFE是菱形．
（3）設四邊形BDFE的面積為S，求S與x之間的函數關系式；并求E在AB邊上何處時，四邊形BDFE的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）證△AEF∽△ABC，得出比例式，代入求出即可；
（2）根據菱形性質得出BE=EF，代入得出關于x的方程，求出x即可；
（3）求出∠BAC=90°，作EG⊥BD于G，證△ABC∽△GBE，得出=，求出EG=x，根據平行四邊形面積公式得出S=x•（-x+10），求出函數的最值即可．
解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴y=-x+10；

（2）∵四邊形BEFD是菱形，
∴BE=EF，
即2x=-x+10，
解得：x=；

（3）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
作EG⊥BD于G，
∵在△ABC和△GBE中，∠ABC=∠GBE，∠BAC=∠BGE，
∴△ABC∽△GBE，
∴=，
∴=，
∴EG=x，
∴S=x•（-x+10）
=-（x-1.5）²+12，
∴當x=1.5時，S的最大值為12，此時2x=3，
當點E在AB的中點時，四邊形BDEF的面積最大，最大面積為12．
故答案為：．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理，二次函數的最值，平行四邊形的性質，菱形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力．