Question

（本題滿分13分）

如圖，拋物線（）與x軸相交于兩點(diǎn)E、B（E在B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），且AB=AE=2，∠ACD=90°．

（1）求點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN⊥x軸，垂足為N，使得以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

Answer 1

（1）A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；（2）；（3）存在，M或M．

【解析】

試題分析：（1）由∠ACD=∠AOC=∠COD=90°，得到∠ACO+∠DCO=90°，∠CDO+∠DCO=90°，故∠ACO=∠CDO，從而有△ACO∽△CDO，得到，又因?yàn)辄c(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，2），（-4，0），所以，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)锳B= AE=2，所以點(diǎn)B、E的坐標(biāo)為（3，0）（-1，0）；

（2）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過C、B、E，所以將（0，2）（3，0）（-1，0）代入即可求得拋物線解析式；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為，N的坐標(biāo)為適合題意，分兩種情況討論：①△ACO∽△OMN，②△ACO∽△MON．

試題解析：（1）因?yàn)椤螦CD=∠AOC=∠COD=90°，所以∠ACO+∠DCO=90°，∠CDO+∠DCO=90°，所以∠ACO=∠CDO，所以△ACO∽△CDO，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，2），（-4，0），所以，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)锳B= AE=2，所以點(diǎn)B、E的坐標(biāo)為（3，0）（-1，0）；

（2）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過C、B、E，所以將（0，2）（3，0）（-1，0）代入得：，解得：，，，所以拋物線解析式為：；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為，N的坐標(biāo)為適合題意，

①若△ACO∽△OMN，因?yàn)椤螹NO=∠AOC=90°，則，即MN=2ON，所以，解得或（舍去），

②若△ACO∽△MON，因?yàn)椤螹NO=∠AOC=90°，則，即2MN=ON，所以，解得或（舍去），

綜上可知存在點(diǎn)M和得以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．